2021년03월07일 95번

[사회통계]
확률변수 X의 분포의 자유도가 각각 a와 b인 F(a, b)를 따른다면 확률변수 Y=1/X의 분포는?

① F(a, b)
② F(b, a)
③ F(1/a, 1/b)
④ F(1/b, 1/a)

(정답률: 37%)

문제 해설

Y=1/X 이므로 Y의 확률밀도함수는 f(y) = f(1/y) / y^2 이다. 이를 이용하여 Y의 분포를 구하면 F(a, b)의 확률밀도함수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

f(y) = f(1/y) / y^2
= [b^(b/2) * (y^(-a/2)) * gamma((a+b)/2) / (a^(a/2) * pi^(a/2) * gamma(a/2))] / y^2
= [b^(b/2) * y^(b/2-1) * a^(a/2) * pi^(a/2) * gamma(a/2) / (gamma((a+b)/2) * y^(a/2+1))]
= F(b, a)의 확률밀도함수

따라서 Y의 분포는 F(b, a)이다.

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